신비로운 수학

수학은 아름답다. Math is beautiful.

한번 들어가 보세요 추천하는 페이지

[수학적인 베이글] [뫼비우스의 베이글]- 먹을 것 가지고 장난하면 안된다고 했지만, 먹을 것 가지고 정말 멋있게 장난하는 사람들이 있습니다. 어떻게 이런 생각을 하는지 모르겠습니다. 정말 할 일이 없는 사람이 너무 인생이 지루하고 심심해서 칼들고 장난하다가 이런 것을 찾아냈을지도 모릅니다. 아니면 이런 모양이 머리 속에 저절로 그려져서 그냥 평범한 사람들에게 아주 간단한 행복을 주려고 하는 천재이거나.

[당근으로 실험하는 원뿔의 절단] - 당근을 자르면 어떨까요? 당근을 감자칼로 깍으면 원뿔이 쉽게 만들어 질 것 같아요. 수직으로 자르면 원이 생기고, 비슷하게 자르면 원뿔이 생기겠지요. 또, 축에 평행하게 자르면 쌍곡선, 모선과 평행하게 자르면 포물선이 생길 것 같아요. 온통 머리 속이 당근 잘린 모양이 가득합니다.
오늘 저녁은 닭찜이 어떠세요? 이것들을 같이 넣으면 어떨까요?

[깍두기로 실험하는 정육면체의 절단] - 꼭 깍두기로만 이런 실험을 할 필요는 없습니다. 두부를 이용해도 좋지요. 아예 깍두기를 만드는 무를 사다가 수십개의 정육면체를 만들면 어떨까요? 당근이나 감자는 어떠세요? 하지만 정육면체를 만드는 것 또한 쉽지 않습니다. 쉬운 것은 없지요. 같은 간격은 평행을 의미하고, 비틀어지지 않으려면 수직을 알아야 합니다. 정육면체는 모든 변의 길이가 같아야 합니다.

[종이로 만든 입체-도롱뇽] - 그림을 보면서 어찌 어찌 만들었습니다. 솔직히 어떻게 만들어야 하는 지 설명은 못하겠습니다. 두어 번 만들어 보면 설명을 할 수 있겠지요. 그리고 이것이 무슨 입체인지도 알 수 있을 겁니다. 3차원을 2차원 그림으로 설명하는 것이 얼마나 어렵고 말이 안되는지, 직접 만들어 보면 알게 된답니다.

[델타 다면체] - 정삼각형만으로 입체도형을 만들 수 있을까요? 면의 모양에만 집중해 보세요. 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 달라도 좋답니다..
[4D프래임] - 특수한 프라스틱 연결대와 빨대(스트로우)처럼 생긴 연결봉으로 여러 가지 입체도형을 만들 수 있답니다. 새로운 시도는 언제나 아름답고 멋있지요. 우리는 아이들에게 손으로 직접 만들어 볼 수 있는 기회를 주어야 한다고 생각합니다. 상상력과 창의성은 그저 저절로 생겨나는 것은 아니겠지요. 자. 필요한 것은 가위만 있으면 됩니다. 참 인내심도 준비되어 있어야 합니다. 다면체를 만나보세요. 정말 멋있습니다.

[프렉탈 카드 선물하기] - 실제로 만들어 보지 않는다면 무슨 의미가 있겠습니까? 아이들이 만들었던 프렉탈 카드를 모았습니다.
[프렉탈 카드] - 프랙탈은 점점 더 미세한 구조로 자기 닮음의 성질을 가지는 기하학적인 도형입니다. 프랙탈 카드의 핵심은 같은 과정을 원하는 만큼 계속 반복하는 것입니다. 다양한 종류의 프렉탈 카드를 만들어 보세요. 아이들이 특히 예뻐합니다.
[마술통]- 안과 밖을 뒤집을 수 있는 마술통

[구(sphere), 귤을 이용하여 구의 겉넓이 구하기]
- 중학교 1학년 마지막 단원에 보면 원의 겉넓이를 측정하는 부분이 있습니다. 말로만 설명하기 보단 직접 실험을 하면 오랫동안 기억할 수 있지요. 맛있는 귤을 이용하여 구의 겉넓이를 구해 보세요.

새로운 마음으로 시작하는 페이지

[책갈피에 수학 서표를 끼워 두다]
  수학 문제를 풀거나 착한 일을 하면 나눠 주는 책갈피입니다.
    [책갈피1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14]
    [15][16][17][18]
[수학자와 책갈피가 만날 때]
[책갈피 만들기(1), (2), (3), (4)]
[준정규 테셀레이션 책갈피 만들기]-두 가지 이상의 정다각형에 의하여 테셀레이션 하는 것

[흥미로운 수학책-읽어보세요]
- 사람이 수학을 만들고 수학은 세상을 만든다.
수학은 그저 어려운 문제나 푸는 과목이 아닙니다. 수의 역사는 인류의 역사입니다. 수학 문제를 하나 풀었다는 것은 인류에 주어진 문제 하나를 해결했다는 말입니다. 이 모든 과정이 책에 닮겨 있습니다.

[7차 교육과정 수학과 수준별 학습지] - 제주도제주시교육청에서 제7차 교육과정 교수·학습 개선을 위해 Math Jeju 연구회에 지원하여 개발한 1,2,3학년 수학과 수준별 학습 자료입니다.
[중학교 3학년 학력평가 문항자료집] - 제주교육과학연구원에서 2007년 중학교 3학년 학력평가 기본자료로 활용할 수 있도록 하기 위해 개발한 자료입니다.

아름답고 흥미로운 수학 이야기

[제주수학축제]
매해 제주도에선 수학체험전과 수학경진대회가 열린답니다. 수학 선생님들과 수학을 좋아하는 도우미 학생들이 친구들과 부모님에게 수학의 아름다움을 널리 알리는 것이지요. 2009년에는 제주 국제컨벤션센터에서 수학축제가 열리기로 했었는데 신종플루 때문에 취소가 되어 버렸습니다. 하지만 내년에는 꼭 구경 오세요.^^ 수학체험전, 수학경진대회, 매쓰투어가 있습니다. 수학과 함께 행복해 하는 학생들의 모습을 볼 수 있습니다. 예전 수학축제 사진 : 네이버 블로그

[수학 그림 옷1][수학 그림 옷2][수학 그림 옷3]
조금 튀는 것이 아닌가 걱정스럽기도 합니다. 하지만 모든 일에는 용기가 필요하니까...
몇 년 전부터 수업시간에 선생님이 수학이 그려져 있는 옷을 입고 있다면 어떨까 생각을 했었습니다. 드디어 용기를 내고 그림을 그리고 입고 교실에 들어갔습니다.
"선생님 옷 예뻐요. 어디서 사셨어요?" "내가 만들었지." "와, 정말 멋있다."
"선생님. 수학은 아름다워요." 아이들이 신기해 하는 모습에 힘이 났습니다.

[멩거 스펀지-1][멩거 만들기-2][멩거 쌓기나무-3][안티 멩거][카드 멩거][멩거 스펀지-6]
- 멩거 스펀지는 각 구멍을 감싸는 표면적의 총합은 유한하지만, 전체 부피는 사라지는 프렉탈 도형입니다. 여기에는 2001년 우유팩 8,000개를 이용한 멩거 스펀지 제작과정과 2009년 새로운 '멩거 스펀지 만들기' 이야기를 담았습니다. 이번에는 명함을 이용해서 멩거스펀지를 만들 생각입니다. 아직 만들어보지 않았기 때문에 만들기 쉬운지 어려운지 잘 모릅니다. 하지만, 아이들과 같이 만들면서 그 가능성에 대해 생각해 볼 것입니다. 그리고 쌓기나무를 이용하여 멩거 스펀지를 만들고, 안티 멩거스펀지도 만들어 볼 겁니다.

[시에르핀스키 피라미드(3)]
2009년 커다란 시에르핀스키 피라미드를 만들려고 했습니다만 실패했습니다.
제주도 대정중학교 영재교육반 학생들 20명과 2시간동안 도전해 본 이야기입니다.
언제나 그렇지만 성공보다는 실패에서 더 많은 것을 배우고 희망도 생기는 것 같습니다. 모두들 다음에 꼭 도전해서 성공해 보고 싶다고 했습니다.
기회가 다시 있을까요?

[ZONODOME SYSTEM 조노돔 시스템]- 최고로 아름다운 입체도형을 만들 수 있습니다.
- George W.Hart 의 홈페이지를 보다가 오랜만에 한 번 만들어 보고 싶은 열정이 생겼습니다. 틈틈이 시간을 내서 만들었는데, 많은 연결봉과 연결체가 필요했습니다. 결국 재료가 부족하여 아쉽게 완성하지 못했습니다.
이 입체의 중심에는 이중절단정십이면체가 있습니다. 그 주위를 44의 눌러진 이중절단십이면체가 빈데떡처럼 다닥다닥 붙어 가면서 커다란 4차원의 수학적 공간을 만들어 나갑니다.
이것을 만들면서 그저 신비스럽다는 생각을 했습니다. 학교 아이들이 이걸 보면서 수학이 아름답다고 말합니다.^^

[내가 만든 수학 시계(1)][수학시계(2)]
오늘 아이들의 반응은 다양했습니다. 이젠 시계 보기도 어렵겠다. 시계를 보니 머리가 어지럽다며 웃는 아이들이 있는 반면에 너무 멋있다며 자기가 알고 있는 의미를 친구들에게 설명해주는 아이들도 있었습니다. 그래도 아이들은 대체로 신기해하며 재미있어 하는 듯했습니다. 나는 마음에 듭니다. 다시 새로운 모양의 시계를 만들어 볼 것입니다.
수학을 생활화 하는 것. 이것이 수학 문화가 아닐까 생각합니다.

[피타고라스의 정리]
- 수학의 위대한 정리 "피타고라스의 정리"
하나의 문제를 이렇게 다양한 각도에서 바라보고 생각할 수 있다는 것이 그저 놀랍고 신기할 따름입니다.

[수학교과실 ]
처음으로 만든 수학교과실입니다. 처음이라서 부족한 것이 많지만, 처음이라서 애정이 더 갑니다. 수학교과실을 만들고 나니 더욱 더 필요성을 느끼게 되었습니다.
아이들이 수학을 공부하러 이 교실로 온다. 나는 훨씬 더 수업준비를 잘 할 수 있었다. 하나씩 하나씩 수업을 준비하면서 만들었던 나만의 교실, 재미있었다.

[수학 벽화 그리기]
2008년 올해는 에셔의 도마뱀과 나비 테셀레이션 벽화, 그리고 수학교과실의 펜로즈 타일링 벽화를 그렸습니다. 생각보다 비용도 들지 않았고, 아이들과 함께 할 수 있어서 무엇보다 좋았습니다. 수학이 문제만 푸는 과목은 아닙니다. 오히려 대부분의 아이들에게는 생활 속의 수학, 이런 것이 필요한 것은 아닐까 생각합니다.

[원뿔]- 원뿔과 관련된 것을 만들어 봅니다.
예를 들어 원뿔의 부피 실험, 거꾸로 올라가는 뿔 같은 것을 만들 겁니다.
[원뿔의 부피 실험]- 원뿔의 부피는 이렇게 실험을 통해 구할 수 있습니다.
[거꾸로 올라가는 뿔]- 신기하게도 거꾸로 올라가는 뿔이 있습니다.
[모래로 만드는 원뿔곡선]- 모래가 만드는 타원, 쌍곡선, 포물선입니다.

[황금비]- 황금비는 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비 입니다.
[황금분할기 만들기]-황금분할기는 닮음의 성질을 이용하여 주어진 선분이나 물체등을 황금비로 만드는 교구입니다. 황금분할기를 만들면서 황금비와 황금분할의 기본 개념을 더 잘 이해할 수 것입니다.

[ 자연 속의 황금비-피보나치 잎차례]
식물의 잎은 각각의 잎들이 성장에 필요한 햇빛, 습기, 공기 등을 얻는데 가장 좋은 곳을 찾아 생겨납니다. 잎이 난 자리 바로 위에 잎이 난다면 아래의 잎은 성장에 필요한 요소들을 얻기가 어렵습니다. 따라서 잎은 줄기를 따라 올라가면서 나선형으로 약간씩 비껴서 나서 아래 잎이 햇빛에 가려지는 것을 막습니다. 빛을 최대한 많이 받으려고 하는 것입니다.

[종이로 입체 구조물 만들기(1)][만들기(2)]
- George W. Hart 의 홈페이지에 본 것을 따라 만들어 봤습니다. 나는 따라쟁입니다.
어머님 댁에 가려고 하는데 버스 속에서 심심할 것 같았습니다. 재빠르게 전개도를 프린터하고 가방에 넣었습니다. 버스에서 테두리를 따라 가위로 잘랐습니다. 버스가 멈출 때 재빠르게 손을 놀렸습니다. 처음에는 어떻게 끼워야 할 지 걱정했는데 생각보다 아주 쉬웠습니다. 긴 것과 짧은 것을 끼우면 됩니다. 1시간이면 된답니다.

[CD로 축구공 만들기][깍은 정이십면체 그리기]
- George W. Hart 의 홈페이지에 구경 갔다가, 스페인의 세빌리아 대학교에서 만든 CD로 만든 깍은 정이십면체를 봤습니다. 정말 뭔가 다르긴 다르구나 하는 생각을 했습니다.
놀라웠습니다. 내가 할 수 있는 일은 따라서 만들어보는 것일 뿐.
아이들과 최선을 다해 만들어 보기로 했습니다. 드디어 오늘(2009.5.16) 그 기회를 잡았답니다. 전일제 개발활동시간에 16명의 아이들과 도전을 시작했습니다. 두근거리는 마음으로...

[파이(pi, 원주율) 이야기]
- 파이에는 계속해서 주목하게 하는 아름다움이 있습니다. 파이의 숫자들은 매우 불규칙합니다. 실제로 아무런 패턴도 없으며, 수학에서 아무 패턴을 갖지 않는다는 것은 모든 패턴을 갖고 있다는 것과 같은 말입니다. - 피터 보와인, 1996

[사각뿔의 부피 구하기] - 기둥과 뿔의 부피의 관계를 눈으로 직접 볼 수 있게 모형을 만들어서 왜 기둥의 부피는 뿔의 부피의 3배가 되는지 살펴 봅니다.

[에셔의 도마뱀 테셀레이션]
데셀레이션하면 무엇이 생각나세요? 보도블럭, 창살, 타일. 저는 에셔의 도마뱀이 먼저 생각납니다. 외국의 어느 박물관 바닥에는 아예 에셔의 도마뱀을 커다란 타일로 만들어 깔아 놓았더군요. 정말 아름다웠습니다. 그래서 이 도마뱀들을 직접 만들어 보았습니다. 페인트로 색도 칠했습니다. 그놈들을 이리저리 돌리면서 끼워보았습니다. 정말 바닥이 도마뱀들만으로 채워졌습니다. 도마뱀을 징그럽다고 하는 사람이 있었는데 징그럽긴요. 너무 예뻐서 죽는줄 알았습니다.

[착시1 optical illusion][착시2][착시3][착시4]
우리는 우리의 눈을 믿을 수 있을까요? 우리 눈에 보이는 것들이 전부일까요?
도형은 그 자체로도 신기하지만 도형이 가지고 있는 한계 때문에 우리의 눈은 가끔씩 실수를 합니다.
착시현상은 신기하고 재미있어서 우리의 호기심을 충분히 자극합니다.

[불가능한 모양 impossible objects]
공간에서 불가능한 것이 평면에서 가능한 것처럼 보이게 할 수 있습니다.
이러한 그림이나 도형은 너무 신비한 나머지 바라보는 것만으로도 우리 몸 속의 힘을 쫙 빼어 놓습니다.
하지만, 그렇기 때문에 도전하고 싶은 용기와 불가능에 대한 호기심을 자연스럽게 자극합니다.

[생활 속의 수학] - 우리들은 흔히 수는 그리 대수롭지 않은 것으로 걸음걸이처럼 저절로 배워지는 어떤 것으로 생각한다. 과연 수는 신이 인간에게 준 선물이며 인류가 생겨나면서부터 이미 있었던 것일까? 원시사회에서는 가장 중요한 재산이 가축이었다. 가축을 기르던 우리의 조상은 처음에는 손가락으로 몇 마리인지 꼽았을 것이다.

[수(number) 이야기]
모든 것은 수에서 시작한다. 수는 우리의 문화와 언어와 커다란 영향을 끼쳐왔습니다. 수학자는 수가 갖는 특별한 성질에 매료되었고 수를 연구하였습니다. 알려진 가장 큰 소수, 완전수, 메르센느 소수, 친구수, 쌍둥이 소수.....

[String Art]
과연 직선은 있을까요? 그럼 곡선은 있을까요?
그림을 그리는 화가들을 보면 수 천 개의 선을 그려 입체적인 면도 만들고 곡선도 만들어 냅니다.
쉬운 것 같지만 규칙을 확실히 이해하기 전에는 적당히 어렵습니다. 또, 대단한 인내심도 필요합니다.
하지만 완성되면 너무 예쁘다는 것을 알게 됩니다.

[측정(measurement)]
- 측정의 체계나 수단이 없었더라면, 과학이나 공학이 지금과 같이 눈부신 발달을 이룰 수 없었을 것입니다. 우리는 높이, 넓이, 무게 등과 같은 비교적 작은 계산으로부터, 은행입금 및 잔고 파악은 물론 표준단위가 몇 백만이나 되는 큰 계산에 이르기까지 측정이 필요하지 않은 것이 없습니다.

[페르마의 점]
- 삼각형의 각 꼭지점으로부터의 거리의 합이 가장 작게 되는 점. 프랑스 수학자 페르마에 의해 제기된 문제입니다. 수학체험전을 하면서 여러번 페르마의 점 실험기를 만들었습니다. 그 때의 이야기입니다.

[수학 만화]
- 만화로 만나보는 재미있는 수학
'이 문장은 거짓이다' 과연 이 문장은 참일까요? 거짓일까요?
이러한 모순투성이 명제는 일상생활에서 생각보다 훨씬 많이 쓰이고 있습니다.

[성냥개비 퍼즐]
- 성냥개비는 예전에 가장 쉽게 구할 수 있었던 놀이 도구였습니다. 성냥개비를 가지고 즐길 수 있는 정말 재미있는 환상적인 퍼즐입니다.

[소마큐브]- 각각 3개 또는 4개의 정육면체들로 구성된 7개의 조각으로 되어진 3차원 상의 입체 퍼즐	[탱그램]- 고대 중국의 퍼즐 게임인 Tangram 7개의 조각을 가지고 모형를 만드는 흥미로운 퍼즐
[펜토미노]- 5개의 정사각형들을 연결하여 배합한 2차원 형상의 퍼즐.매우 흥미로운 수학적 특성을 가진 퍼즐	[글자]- 대문자 T-퍼즐, +-퍼즐, 대문자 F-퍼즐
[삼각형]- 합동인 정삼각형 6조각과 이등변삼각형 6조각으로 이루어진 퍼즐	[정오각형 퍼즐]- 큰 정오각형 3개와 2종류의 이등변 삼각형 14개로 총 17개의 조각으로 구성된 퍼즐
[유클리드][악마]- 평면도형을 만드는 그림자 퍼즐(실루엣	[도형 분할 퍼즐]- 주어진 다각형을 잘라 맞추어 새로운 다른 다각형을 만드는 퍼즐

[눈송이 만들기]
- 종이를 잘라 아름다운 눈송이를 만듭니다. 종이로 여러 가지 눈송이를 만드는 것은 재미있습니다.
도형의 대칭, 회전, 닮음, 합동, 무엇보다 도형이 가진 아름다움을 만날 수 있습니다.

[시에르핀스키 피라미드]
- 2000년 제주중앙여자중학교 학생들이 만든 시에르핀스키 피라미드 제작과정과 재미있는 프렉탈 이야기

[정육면체의 절단]- 종이접기는 자연스럽게 도형과 친할 수 있게 해주며, 익숙해지면 교구를 대신해 주기도 합니다. 정육면체를 어떻게 절단하는가에 따라 그 결과는 다양합니다. 여기서는 정육면체의 세 꼭지점을 잇는 평면으로 절단하는 경우를 생각해 보겠습니다.

[사이클로이드]- 자전거에 붙은 껌은 자전거 바퀴가 굴러감에 따라 같이 움직입니다. 이 때 껌이 움직임은 하나의 곡선을 그리게 됩니다. 이 곡선의 이름이 사이크로이드.

[낱말 퍼즐]- 중학생이 즐길 수 있는 수학 낱말 퍼즐.
[Year Game]-올해의 숫자들을 가지고 1부터 100까지의 수를 표시하는 게임
[수학 추천 site]- 놀랍고 아름다운 수학 이야기들이 있습니다.

[수학 달력]
하루에 하나씩 재미있는 수학 이야기와 간단한 퀴즈.
정리를 한다고 할까요. 그동안 만들었던 자료들 중에서 읽을 만한 것들을 달력 형식으로 모아 놓으려고 합니다.
예전에 만들었던 것들을 수정도 할 겸해서 말입니다.
생활 속의 수학, 수 이야기, 재미있는 퍼즐, 착시, 불가능한 도형, 교과서 속의 수학 등 편안하게 읽을 거리를 정리하면서 저 나름대로 수학 공부를 다시 시작하는 것입니다. 즐겁게

[수학 포스터]
요즘 학교에서 수학관련 행사를 자주 합니다. 'OO중학교 작은 수학체험전', 'OOO중학교 행복한 수학체험전', '수학과 함께 놀아볼까?' 아이들에게 한 눈에 들어오는 포스터를 만들어 보여주고 싶은데 그게 어디 쉽습니까?
제주특별자치도중등수학교육연구회에서 체험전에 할 때 사용했던 포스터와 도우미 명찰을 정리해 놓은 것입니다. 혹시 필요하신 분이 계실지 몰라서..^^

[수학의 원류를 찾아서]
1월에 터키와 그리스를 다녀왔습니다. '수학의 원류를 찾아서'라는 좀 황당하고 엄청난 주제를 안고 갔었습니다. 그곳에서 다른 세계와 새로운 아이들을 만났습니다. 아직 정리가 다 되진 않았지만 시간을 내어 하나씩 정리하고 있습니다.
가끔씩 이 여행이야말로 진짜 여행이란 생각이 듭니다.

[2009년 교단의 푸른 미래 우수 수업 동영상 보기]
선생님으로서 가장 자신 있어 해야 하는 것은 무엇일까요?
수업이 아닐까 생각합니다. 나는 어떤가? 생각을 자주합니다.
솔직히 수업을 끝내고 아이들의 뒷모습을 보며 '이게 뭐냐?'라는 생각을 할 때가 있습니다. 착찹합니다. 수학 공부를 하면서 좌절하는 아이들이 꼭 나 때문인 것 같아서 마음이 아픔니다. 아마 이것은 나만의 생각만은 아닐 겁이다. 그런데.....

[좋은 수업을 생각하는 교사 세미나 동영상 보기]
2009년 올해는 동영상을 3번이나 찍었습니다. 처음은 학교에서 교무, 연구부장님께서 학교 연구수업을 찍어서 스스로의 수업을 관찰 해보라고 주셨고, 두 번째는 교단의 푸른 미래 우수 수업 동영상이었습니다. 세 번째가 바로 이 '좋은 수업을 생각하는 교사 세미나'입니다. 저도 이 동영상을 보면서 '아! 내가 이런 생각을 하고 있구나.' 하는 걸 알았습니다. 제주교육과학연구원에서 2009년 10월 14일 발표였습니다.