책갈피(bookmark) 모음

40. 삼각형
체바의 정리 [Ceva's theorem] 1678년 이탈리아의 기하학자 G.체바(1647~1736)가 발견한 정리 (증명) △ABC의 내부에 있는 한 점P가 있다. AP의 연장선과 BC와의 교점을 점D BP의 연장선과 CA와의 교점을 점E CP의 연장선과 AB와의 교점을 점F 라고 하면, △ABD 와 △ADC 는 높이가 같으므로, 밑변의 길이의 비는 넓이의 비와 같다. BD : DC = △ABD :△ADC 또, △PBD 와 △PDC 는 높이가 같으므로, 밑변의 길이의 비는 넓이의 비와 같다. BD : DC = △PBD :△PDC 따라서, BD : DC = △ABD-△PBD :△ADC-△PDC =△ABP :△APC

메넬라우스의 정리 [Menelaus' theorem] 고대 그리스의 수학자 ·천문학자 ·물리학자인 메넬라우스(70?~120?)가 발견한 정리. 이집트의 알렉산드리아 출생. 98년 로마에 천문대를 건립하였다. 저서로, 원의 현에 관한 저작(6권)이 있었다고 하나 없어지고, 지금까지 남아 있는 것으로는 아라비아어 ·헤브라이어 ·라틴어 등으로 번역된 '구면학 Sphaerica'(3권)이 있다. 이것은 구면삼각형을 취급한 것으로, 유클리드의 평면삼각형에 대응하는 것이라 할 수 있다. 제1권에는 구면삼각형의 개념과 정의 등이 있고 제2권은 천문학의 입장에서 구면학을 취급하였으며, 제3권에는 ‘메넬라우스의 정리’를 비롯하여 유클리드의 '기하학원본' 제6권과 유사한 비례의 제명제가 있다.
(증명) 점 C에서 AB에 평행한 선분 CS를 그으면 △RBP∽△SCP ····(1), △CSQ∽△ARQ ····(2),
삼각형의 내각의 크기의 합은 180도 앞은 그림은 파스칼이 종이접기를 이용해서 증명한 방법이고, 뒤에 그림은 탈래스가 엇각을 이용하여 증명한 방법이다.
삼각형의 넓이 삼각형의 넓이는 직사각형의 넓이의 반이다. 많은 고민을 했다. 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형 모두의 넓이를 구하는 공식을 책갈피 속에 넣고 싶었기 때문이다.삼각형은 밑변의 길이와 높이가 같으면 모양에 관계없이 넓이가 무조건 같다.
삼각형의 외각의 크기 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다. 증명을 해보자. 점 C를 지나고 직선AB에 평행한 직선을 그리고, 직선CQ라고 하자.(책갈피에는 Q가 없다) 그러면, ∠ACQ=∠BAC(엇각), ∠QCP=∠ABC(동위각), ∠ACP=∠ACQ+∠QCP=∠BAC+∠ABC 즉, ∠ACP=∠ABC+∠BAC
삼각형의 중점연결정리 삼각형의 두 변AB와 AC의 중점D, E을 연결한 선분DE는 나머지 변BC과 평행하고, 선분DE의 길이는 나머지 변BC의 길이의 반과 같다. 또, 삼각형의 한 변AB의 중점D을 지나서 다른 한 변BC에 평행한 직선DE 은 나머지 한 변AC의 중점E을 지난다고 하는 정리도 성립한다. 이들 두 정리를 합쳐서 중점정리라고도 한다.